このアプリについて
空き缶2本の上に軽い板をのせ、その上にメトロノームをならべます。振り子がふれると、そのはんどうで板がほんの少し（1 mm ほど）横にゆれます。そのゆれが、ほかのメトロノームの振り子を押したり引いたりします。こうしておたがいに少しずつ影響しあううちに、リズムがそろいます。
計算は、板の位置と振り子の角度の運動方程式（ラグランジュの式）を、近似なしで解いています（角度は sin・cos のまま。小さいふれの近似は使っていません）。0.5 ミリ秒きざみのルンゲ＝クッタ法（RK4）で進めています。押す力と摩擦を切ると、エネルギーと運動量が 60 秒で 10−11 以下の割合しか変わらないことで、計算の誤差を確かめています。
メトロノームと板の大きさ・重さ・速さは、Pantaleone（2002）の実験の値です: メトロノーム 1 台 94 g、板 58 g、1 分に 208 回カチ（104 往復）、いちばん大きなふれ約 45°、板のゆれの大きさの目安 0.088 cm。ぜんまいが振り子を押すしくみ（脱進機）と振り子の摩擦は、論文が実験に合うように決めた式（van der Pol 型の項、強さ 0.010）で入れています。論文の実験では、2台は数十秒で同じ向きにそろいました。板に 2 kg のおもりをのせても同じ向きでそろい、ぬれた台の上（缶が転がりにくい）では逆向きでそろいました。
同じことはずっと前に Huygens（ホイヘンス）が、2つの振り子時計で見つけています（1665年）。重い台にかけた時計は、逆向きでそろいました（Bennett ほか 2002 が再現）。
計算で分かったこと（このアプリで試した結果）
- ふつうの床では、論文の式でも「まん中で押す」形でも、2台は 30〜60 秒で同じ向きにそろいます（論文の観察と同じ）。5台・10台でもそろいます。
- 板をおさえると、そろいません。速さのちがいの分だけ、ずれていきます。
- ぬれた床（板の動きに強いブレーキ）では、逆向きや、ずれた向きから始めると、逆向きに近いところ（約 150〜170°）にとどまりました。ほとんどそろえて始めると、同じ向きのままでした（どちらもありえる）。逆向きに近いところにとどまるのは、2台の速さがほとんど同じ（ばらつきなし）のときだけで、ばらつき 0.1% ではゆっくりずれていきました。ブレーキが中くらいだと、ずれが行ったり来たりして止まらないこともあります。論文の実験ではっきり逆向きになったのと同じかどうかは、押し方のくわしい形や床の摩擦の形で変わり、このアプリのモデルでは決めきれません。
簡単にしているところ
- ぜんまいが押すしくみと振り子の空気の抵抗を、1つの式にまとめています（論文の式）。「まん中で押す」は、振り子がまん中から ±0.1 rad（約 6°）のあいだ動く向きに一定の力で押し、摩擦は速さに比例するとした、このアプリの推定の形です（ふれはばが落ちつく速さと、ふれはばを論文の式とそろえています）。
- 空き缶の重さと回転は入れていません（論文も同じ）。板は横にだけ動きます。
- ぬれた床の摩擦は、板の速さに比例する力（30 N·s/m）としています。大きさは推定です。
- メトロノームの棒は上にのびていますが、重心は支点より下（本体の中のおもり）にあります。点線がその重心の側です。
- カチの音は、振り子がまん中を通る瞬間に鳴らしています（実物のカチの瞬間とは少しちがいます）。
- 「ばらつき」は台ごとの速さのちがい（いちばん速い台といちばんおそい台の差）です。おもりの位置を少し変えたものとして、振り子の慣性モーメントを変えています。
- 位相（リズムの位置）は、角度と角速度から計算した目安です。
おもな出どころ
- J. Pantaleone, “Synchronization of metronomes”, American Journal of Physics 70, 992–1000 (2002). doi:10.1119/1.1501118
- M. Bennett, M. F. Schatz, H. Rockwood, K. Wiesenfeld, “Huygens’s clocks”, Proceedings of the Royal Society of London A 458, 563–579 (2002).
使っているもの
フォント: Google Fonts（SIL Open Font License）
About this app
A light board sits on two empty cans, and metronomes stand in a row on top of it. When a pendulum swings, it pushes back on the board, so the board slides sideways just a little (about 1 mm). That tiny motion pushes and pulls on the other pendulums. As they keep nudging each other bit by bit, their rhythms line up.
The app solves the equations of motion for the board's position and the pendulum angles (Lagrange's equations) without shortcuts: the angles stay inside sin and cos, and there is no small-swing approximation. Time moves forward in steps of 0.5 milliseconds with the Runge–Kutta method (RK4). To check the error, we switch off the drive and the friction: then the energy and momentum change by less than 10−11 of their size in 60 seconds.
The sizes, weights and speed of the metronomes and the board come from the experiment by Pantaleone (2002): each metronome 94 g, the board 58 g, 208 ticks a minute (104 back-and-forth swings), a largest swing of about 45°, and a board motion scale of 0.088 cm. The way the wound-up spring pushes the pendulum (the escapement) and the pendulum's friction are put in as one formula that the paper fitted to its measurements (a van der Pol type term, strength 0.010). In the paper's experiment, two metronomes fell into step, swinging the same way, within a few tens of seconds. With a 2 kg weight on the board they still ended up swinging the same way, and on a wet table (where the cans roll less easily) they ended up swinging opposite ways.
Christiaan Huygens noticed the same thing long ago with two pendulum clocks (1665). His clocks, hung on a heavy support, ended up swinging opposite ways (rebuilt by Bennett and others in 2002).
What the calculation showed (results tried in this app)
- On a normal floor, two metronomes fall into step, swinging the same way, in 30 to 60 seconds, with either the paper's formula or the “push in the middle” form (the same as the paper's observation). Five or ten metronomes also fall into step.
- If you hold the board down, they do not fall into step. They just drift apart because their speeds are slightly different.
- On a wet floor (a strong brake on the board's motion), starting from opposite swings or from a shifted start, they stayed near opposite swings (about 150 to 170°). Starting almost in step, they stayed in step (both can happen). Staying near opposite swings only happened when the two metronomes had almost exactly the same speed (no spread); with a 0.1% spread they slowly drifted. With a medium brake, the offset can keep wandering back and forth without settling. Whether this matches the clear opposite swings seen in the paper's experiment depends on the detailed shape of the push and of the floor friction, which this app's model cannot settle.
What is simplified
- The spring's push and the air drag on the pendulum are combined into one formula (the paper's). “Push in the middle” is this app's own estimate: the pendulum is pushed with a steady force in the direction it moves while it is within ±0.1 rad (about 6°) of the middle, and the friction is proportional to speed (set so that how fast the swing settles, and the size of the swing, match the paper's formula).
- The weight and rolling of the cans are left out (the paper does the same). The board only moves sideways.
- The friction of the wet floor is a force proportional to the board's speed (30 N·s/m). Its size is an estimate.
- The metronome's rod points up, but its center of mass is below the pivot (a weight inside the body). The dotted line shows that side.
- The tick sound plays when a pendulum passes the middle (a little different from when a real metronome ticks).
- “Spread” is how much the speeds differ between metronomes (from the fastest to the slowest). It is made by changing the pendulum's moment of inertia, as if the sliding weight were moved a little.
- The phase (position in the rhythm) is a rough measure calculated from the angle and the angular speed.
Main sources
- J. Pantaleone, “Synchronization of metronomes”, American Journal of Physics 70, 992–1000 (2002). doi:10.1119/1.1501118
- M. Bennett, M. F. Schatz, H. Rockwood, K. Wiesenfeld, “Huygens’s clocks”, Proceedings of the Royal Society of London A 458, 563–579 (2002).
What this app uses
Fonts: Google Fonts (SIL Open Font License)